Question

【題目】已知橢圓E的右焦點與拋物線y2=4x的焦點重合，點M 在橢圓E上． （Ⅰ）求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）設P（﹣4，0），直線y=kx+1與橢圓E交于A，B兩點，若∠APO=∠BPO，（其中O為坐標原點），
求k的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為拋物線焦點為（1，0），所以橢圓的焦點坐標為F2（1，0），F1（﹣1，0），

又因為M（1， ）在橢圓上，

所以2a=|MF1|+|MF2|= + =4，

即a=2，又因為c=1 所以b2=a2﹣c2=3，

所以橢圓的方程是 + =1；

（Ⅱ）若∠APO=∠BPO，則kPA+kPB=0，

設A（x1，kx1+1），B（x2，kx2+1），

∴ ，

聯立 ，消去y得到（3+4k2）x2+8kx﹣8=0，

∴ ，

∴ ，

即﹣16k﹣32k2﹣8k+24+32k2=0，

∴k=1

【解析】（Ⅰ）求出拋物線的焦點，可得橢圓的焦點，由橢圓的定義，運用兩點的距離公式可得2a=4，即a=2，再由a，b，c的關系，可得b，進而得到橢圓方程；（Ⅱ）若∠APO=∠BPO，則kPA+kPB=0，設A（x1，kx1+1），B（x2，kx2+1），運用直線的斜率公式，聯立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理，化簡整理可得k的方程，解方程即可得到k的值．