Question

【題目】已知函數 是偶函數.
（1）求 的值；
（2）若函數 沒有零點，求 得取值范圍；
（3）若函數 ， 的最小值為0，求實數 的值.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ 是偶函數，∴ ，
即 對任意 恒成立.
∴ ，
∴
（2）解：函數 沒有零點，即方程 無實數根.
令 ，則函數 的圖象與直線 無交點，
∵
，
又 ，∴ ，
∴ 的取值范圍是 .
（3）解：由題意 ， ，
令 ， ， ，
①當 ，即 時，
， ；
②當 ，即 時，
， （舍去）；
③當 ，即 時，
， （舍去）.
綜上可知，實數
【解析】(1)根據偶函數的定義f(-x) =f(x)再結合對數的運算性質 即可求出結果。(2)首先把零點問題轉化為方程根的問題，再構造函數g ( x )利用數學結合的思想轉化為函數 y = g ( x ) 的圖象與直線 y = a 無交點，再根據題意利用對數的運算性質以及對數函數的單調性求出函數 g(x) 的取值范圍，進而求出使得函數 y = g ( x ) 的圖象與直線 y = a 無交點的a的取值范圍。(3)由整體思想 t = 2x ∈ [ 1 , 3 ]轉化整理函數 h(x)為φ ( t ) = t2 + m t，利用二次函數在指定區間上的最值問題對對稱軸分情況討論，進而求出在不同區間上的m的值。