Question

設橢圓 (a>b>0)的左頂點為A,若橢圓上存在一點P,使∠OPA= (O為原點),求橢圓離心率的取值范圍.

Answer 1

橢圓離心率的范圍是(,1).

如圖,設P(x,y),由∠OPA=知點P在以AO為直徑的圓上,
即.
聯立方程組消去y,得
(a²-b²)x²+a³x+a²b²=0.
解之,得x=-a或.
當x=-a時,P與A重合,不滿足題意,舍去.
故P點的橫坐標為.
又∵,∴a²>2b²,即a²>2(a²-c²).
∴,.
又∵0<e<1,
∴1,即橢圓離心率的范圍是(,1).