Question

【題目】如圖，在三棱錐V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC=BC= ，O，M分別為AB，VA的中點．

（1）求證：VB∥平面MOC．
（2）求證：平面MOC⊥平面VAB．
（3）求二面角C﹣VB﹣A的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為O，M分別為AB，VA的中點，

所以OM∥VB．

又因為OM平面MOC，VB平面MOC，

所以VB∥平面MOC．

（2）證明：因為AC=BC，O為AB中點，

所以OC⊥AB．

因為平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC=AB，

OC平面ABC，所以OC⊥平面VAB．

因為OC平面MOC，

所以平面MOC⊥平面VAB

（3）解：由（2）知OC⊥面VAB，過O作OE⊥VB交VB于點E，連結CE，

因為OC⊥面VAB，所以OC⊥VB，

則∠OEB即為二面角C﹣VB﹣A的平面角．

在直角三角形COE中，

OE= ，OC=1，CE= ，

所以cos∠OEB= ．

故二面角C﹣VB﹣A的平面角的余弦值為

【解析】（1）由三角形中位線定理得OM∥VB，由此能證明VB∥平面MOC．（2）推導出OC⊥AB，從而OC⊥平面VAB，由此能證明平面MOC⊥平面VAB．（3）由OC⊥面VAB，過O作OE⊥VB交VB于點E，連結CE，則∠OEB即為二面角C﹣VB﹣A的平面角．由此能求出二面角C﹣VB﹣A的平面角的余弦值．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．