Question

【題目】證明
（1）求證： + ＜2
（2）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求證： ， 中至少有一個小于2．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為 + 和2 都是正數，所以為了證明 + ＜2 ，

只要證 （ + ）2＜（2 ）2

只需證：10+2 ＜20，

即證：2 ＜10，

即證： ＜5，

即證：21＜25，

因為21＜25顯然成立，所以原不等式成立．

（2）證明：假設： ， 都不小于2，則 ≥2， ≥2，

∵a＞0，b＞0，

∴1+b≥2a，1+a≥2b，

∴1+b+1+a≥2（a+b）

即 a+b≤2

這與已知a+b＞2矛盾，故假設不成立，從而原結論成立．

【解析】（1）利用了分析法，和兩邊平方法，（2）利用了反證法，假設： ， 都不小于2，則 ≥2， ≥2，推得即a+b≤2，這與已知a+b＞2矛盾，故假設不成立，從而原結論成立．
【考點精析】認真審題，首先需要了解不等式的證明(不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等)．