Question

【題目】已知函數 ，（為自然對數的底數）

（I）若在上單調遞減，求的最大值；

（Ⅱ）當時，證明：.

Answer 1

【答案】（I）2；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）由題意得對恒成立，即對恒成立，設，則對于恒成立，由，得，然后再驗證時成立即可得到所求．（Ⅱ）結合（Ⅰ）可得當時，單調遞減，且， 故當時，，整理得．然后再證明成立，最后將兩不等式相加可得所證不等式．

（Ⅰ）由，得．

∵在上單調遞減，

∴對恒成立，

即對恒成立，

設，則對于恒成立.

則，

∴，

當時，，且單調遞增， ，

∴當，，單調遞減；當，，單調遞增．

∴，即恒成立，

∴的最大值為2．

（Ⅱ）當時，單調遞減，且，

當時，，即，

∴，

∴， ①

下面證明， ②

令，則，

∴在區間上單調遞增，

∴，故②成立．

由①+②得成立．