Question

【題目】已知函數,函數．

⑴若的定義域為,求實數的取值范圍；

⑵當,求函數的最小值；

⑶是否存在實數,使得函數的定義域為,值域為？若存在,求出的值；若不存在,則說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），

【解析】

（1）因為的定義域為，所以對任意實數恒成立.當m=0時顯然不滿足，當m不為0時，內層函數為二次函數，需要開口向上且判別式小于0，即可滿足要求．

（2）x∈[-1，1]時，求函數是一個復合函數，復合函數的最值一般分兩步來求，第一步求內層函數的值域，第二步研究外層函數在內層函數值域上的最值，本題內層函數的值域是確定的一個集合，而外層函數是一個系數有變量的二次函數，故本題是一個區間定軸動的問題．

(3) 根據函數的單調性，列出方程組 轉化為：即m、n是方程的兩非負實根，且m＜n.即可得解.

（1）由題意對任意實數恒成立,

∵時顯然不滿足

∴

∴

（2）令,則

∴

（3）∵

∴ ∴

∴ 函數在[,]單調遞增,

∴ 又∵

∴ ，