Question

【題目】已知定義域為[0，1]的函數f（x）同時滿足以下三個條件：

①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；

②f（1）＝1；

③當x1，x2∈[0，1]，且x1＋x2∈[0，1]時，f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立．稱這樣的函數為“友誼函數”．

請解答下列各題：

（1）已知f（x）為“友誼函數”，求f（0）的值；

（2）函數g（x）＝2x－1在區間[0，1]上是否為“友誼函數”？請給出理由；

（3）已知f（x）為“友誼函數”，假定存在x0∈[0，1]，使得f(x0)∈[0，1]，且f[f(x0)]＝x0，求證： f(x0)＝x0．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）是，理由詳見解析；（3）詳見解析．

【解析】

（1）令x1＝1，x2＝0，得到f（0） ≤ 0，得到答案.

（2）計算得到，故g(x1＋x2) ≥ g(x1)＋g(x2)，g（1）＝1，得到答案.

（3）取0≤ x1< x2 ≤1，則0< x2－x1≤1，得到f(x2) ≥ f(x1)，假設f(x0) ≠ x0，計算得出矛盾，得到答案.

（1）令x1＝1，x2＝0，則x1＋x2＝1∈[0，1]．

由③，得f（1） ≥ f（0）＋f（1），即f（0） ≤ 0，

又由①，得f（0） ≥ 0，所以f（0）＝0．

（2）g（x）＝2x－1是友誼函數．

任取x1，x2∈[0，1]，x1＋x2∈[0，1]，有，則，故， 即g(x1＋x2) ≥ g(x1)＋g(x2)．

又g（1）＝1，故g（x）在[0，1]上為友誼函數．

（3）取0≤ x1< x2 ≤1，則0< x2－x1≤1．因此f(x2) ≥ f(x1)＋f(x2－x1) ≥ f(x1)，

假設f(x0) ≠ x0，若f(x0) > x0，則f[f(x0)] ≥ f(x0) > x0；若f(x0) < x0，則f[f(x0)] ≤ f(x0) < x0.

都與題設矛盾，因此f(x0)＝x0．