Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件結(jié)合橢圓的定義與性質(zhì)直接求出， 的值，即可求出橢圓的方程；（Ⅱ）先討論直線斜率不存在的情況，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)斜率存在設(shè)過點(diǎn)的直線的方程，設(shè)與橢圓交于兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，由于兩曲線交于兩點(diǎn)，故判斷式大于0且可利用根與系數(shù)的關(guān)系建立兩點(diǎn)的坐標(biāo)與直線的斜率的等量關(guān)系，再設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出，然后綜合計(jì)算即可求得點(diǎn)的軌跡方程.

試題解析：（Ⅰ）∵ ，∴ ．

又由已知，所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

（1）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為

（2）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為.

∵在直線上，∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則

， .又.

由，得，

即 ①

將代入中，得 ②

由，得.

由②知， ， ，

代入①中并化簡，得 ③

∵點(diǎn)在直線上，

∴，代入③中并化簡，得.

由③及，可知，即.

又滿足，故.

由題意， 在橢圓內(nèi)部，所以，又由有

且，則.

所以點(diǎn)的軌跡方程是，其中， ，