Question

在四棱錐P－ABCD中，AB∥DC，AB⊥平面PAD， PD＝AD，AB＝2DC，E是PB的中點．

求證：（1）CE∥平面PAD；
（2）平面PBC⊥平面PAB．

Answer 1

（1）詳見解析; （2）詳見解析．

試題分析：（1）要證明線面平行根據線面平行的判定定理可將問題轉化為證明平面外直線平行與平面內一條直線，則此問題關鍵即為找出這條直線，又由題中所給：AB＝2DC，E是PB的中點，不難想到取PA的中點，進而運用三角形的中位線構造平行關系，問題即可得證; （2）中要證明面面垂直由面面垂直的判定定理可知將問題轉化為證明線面垂直，結全題中所給條件和（1）中已證明的過程，不難發現可轉化為去證：平面PAB，再根據線面垂直的判定定理可轉化為證線線垂直：，，這樣問題即可得證．
試題解析：（1）取PA的中點F，連EF，DF．   2分
因為E是PB的中點，所以EF // AB，且．
因為AB∥CD，AB＝2DC，所以EF∥CD，      4分
，于是四邊形DCEF是平行四邊形，
從而CE∥DF，而平面PAD，平面PAD，
故CE∥平面PAD．                         7分
（2）因為PD＝AD，且F是PA的中點，所以．
因為AB⊥平面PAD，平面PAD，所以．                  10分
因為CE∥DF，所以，．
因為平面PAB，，所以平面PAB．
因為平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．                       14分