Question

如圖，在等腰直角三角形中， =90⁰ ，="6," 分別是，上的點，  為的中點.將沿折起，得到如圖所示的四棱椎，其中

（1）證明：；
（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析  （2）

試題分析：（1）F為ED的中點，連接OF,A’F，根據已知計算出的長度，滿足勾股定理，, A’F為等腰△A’DE底邊的中線，, ,證得線面垂直，線線垂直，再線面垂直;(2)過點O作的延長線于，連接．利用（1）可知：平面，根據三垂線定理得，所以為二面角的平面角．在直角中，求出即可；
試題解析：
證明: (1)設F為ED的中點，連接OF,A’F,計算得A’F=2，OF=1

∵A’F為等腰△A’DE底邊的中線，∴A’F⊥DE
∵OF在原等腰△ABC底邊BC的高線上，
∴OF⊥DE
又∵A’F，OF平面A’OF, A’FOF=F,
∴DE⊥平面A’OF
∵A’O平面A’OF, ∴DE⊥A’O
在△A’FO中，A’+=3+1=,∴A’O⊥OF
∵OFDE=F,OF平面BCDE,DE平面BCDE, ∴A’O⊥平面BCDE          6分
(2)：如答圖1，過O作CD的垂線交CD的延長線于M，連接A’M
∵A’O⊥平面BCDE,CD平面BCDE, ∴CD⊥A’O ∵OMA’O="O," ∴CD⊥平面A’OM
∵A’M平面A’OM∴CD⊥A’M ∴∠A’MO為所求二面角的平面角
在Rt△OMC中，OM==, A’O=于是在Rt△A’OM中，A’M=∴∠A’OM=    13分