Question

在如圖所示的多面體中，四邊形為正方形，四邊形是直角梯形，，平面，．

（1）求證：平面；
（2）求平面與平面所成的銳二面角的大小．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）．

試題分析：本題中由于垂直關系較多，由題意易得兩兩相互垂直，因此可以他們分別為軸建立空間直角坐標系，若設，則，，，，，
這樣第（1）題證明線面垂直，計算出，就能證得結論；而第（2）題只要求出平面和平面的法向量，這兩個法向量的夾角與所求二面角一定是相等或互補，其中平面是坐標平面平面，其法向量可取，從而只要再求一個法向量即可．當然如果不用空間向量，也可直接證明，第（1）題只要用平面幾何知識在直角梯形中證得，又有，線面垂直易得，為此取中點，可得是正方形，，接著可得，正好輔助線就是所求二面角的棱，可證就是平面角，這個角是．
試題解析：（1）由已知，，，兩兩垂直，可以為原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系．                       （1分）
設，則，，，，
故，，，     （3分）
因為，，故，，
即，，                            （5分）
所以，平面．                              （6分）
（2）因為平面，所以可取平面的一個法向量
為，                                               （1分）
點的坐標為，則，，（2分）
設平面的一個法向量為，則，，
故即取，則，
故．                                    （5分）
設與的夾角為，則． （7分）
所以，平面與平面所成的銳二面角的大小為． （8分）
解法二：
（1）因為平面，所以，    （1分）
作，為垂足，則四邊形是正方形，設，則，，
又，所以是的中點，，所以， 
所以，所以．        （5分）
所以，平面．                        （6分）
（2）連結，由（1）知，又，所以平面，（2分）
所以，所以為所求二面角的平面角．     （4分）
因為△是等腰直角三角形，所以．      （7分）
所以，平面與平面所成的銳二面角的大小為．  （8分）