Question

已知定義在實數集上的函數，，其導函數記為，
（1）設函數,求的極大值與極小值；
(2）試求關于的方程在區間上的實數根的個數。

Answer 1

（1）當時，_極大=；當時，_極小=0．；當時，_極大=；無極小值
（2）對于任意給定的正整數，方程只有唯一實根，且總在區間內，所以原方程在區間上有唯一實根

試題分析：解：（1）令，則
，…3分
令，得，且，
當為正偶數時，隨的變化，與的變化如下：

		0		0
				極大值		極小值

所以當時，_極大=；當時，_極小=0．   4分
當為正奇數時，隨的變化，與的變化如下：

		0		0
				極大值

所以當時，_極大=；無極小值．  8分
（2），即，
所以方程為，   9分
，   10分
又，由二項式定理知:
故對于，有，   13分  
綜上，對于任意給定的正整數，方程只有唯一實根，且總在區間內，所以原方程在區間上有唯一實根．  14分
點評：主要是考查了函數的圖像與方程根的問題的求解，利用導數來判定單調性和極值，得到，屬于基礎題。