Question

【題目】函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若滿足①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，②存在[a，b]D，使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]，那么y=f（x）叫做閉函數(shù)，現(xiàn)有f（x）= +k是閉函數(shù)，那么k的取值范圍是

Answer 1

【答案】（﹣ ,a]
【解析】解：函數(shù)f（x）= +k 的定義域?yàn)閇﹣2，+∞），且在定義域內(nèi)是增函數(shù)，故滿足①，

又f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]，∴f（a）=a，f（b）=b，

∴ +k=a，且 +k=b，∴a+2=（a﹣k）2，且 b+2=（b﹣k）2，且k≤a，k≤b．

即 ，故 a和 b 是方程 x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0在[﹣2，+∞）上的兩個(gè)根．

令 g（x）=x2﹣（2k+1）x+k2﹣2，

則有 ，解得 a≥k＞﹣ ，那么k的取值范圍是（﹣ ，a]，

所以答案是：（﹣ ，a]．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的值域的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，以及對函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的理解，了解單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．