Question

（2012•西城區(qū)一模）對(duì)于數(shù)列A_n：a₁，a₂，…，a_n（a_i∈N，i=1，2，…，n），定義“T變換”：T將數(shù)列A_n變換成數(shù)列B_n：b₁，b₂，…，b_n，其中b_i=|a_i-a_i+1|（i=1，2，…，n-1），且b_n=|a_n-a₁|，這種“T變換”記作B_n=T（A_n）．繼續(xù)對(duì)數(shù)列B_n進(jìn)行“T變換”，得到數(shù)列C_n，…，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時(shí)變換結(jié)束．
（Ⅰ）試問(wèn)A₃：4，2，8和A₄：1，4，2，9經(jīng)過(guò)不斷的“T變換”能否結(jié)束？若能，請(qǐng)依次寫出經(jīng)過(guò)“T變換”得到的各數(shù)列；若不能，說(shuō)明理由；
（Ⅱ）求A₃：a₁，a₂，a₃經(jīng)過(guò)有限次“T變換”后能夠結(jié)束的充要條件；
（Ⅲ）證明：A₄：a₁，a₂，a₃，a₄一定能經(jīng)過(guò)有限次“T變換”后結(jié)束．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)新定義，可得數(shù)列A₃：4，2，8不能結(jié)束，數(shù)列A₄：1，4，2，9能結(jié)束，并可寫出各數(shù)列；
（Ⅱ）A₃經(jīng)過(guò)有限次“T變換”后能夠結(jié)束的充要條件是a₁=a₂=a₃，先證明a₁=a₂=a₃，則經(jīng)過(guò)一次“T變換”就得到數(shù)列0，0，0，從而結(jié)束，再證明命題“若數(shù)列T（A₃）為常數(shù)列，則A₃為常數(shù)列”，即可得解；
（Ⅲ）先證明引理：“數(shù)列T（A_n）的最大項(xiàng)一定不大于數(shù)列A_n的最大項(xiàng)，其中n≥3”，再分類討論：第一類是沒(méi)有為0的項(xiàng)，或者為0的項(xiàng)與最大項(xiàng)不相鄰（規(guī)定首項(xiàng)與末項(xiàng)相鄰），此時(shí)由引理可知，max（B₄）≤max（A₄）-1．
第二類是含有為0的項(xiàng)，且與最大項(xiàng)相鄰，此時(shí)max（B₄）=max（A₄）．證明第二類數(shù)列A₄經(jīng)過(guò)有限次“T變換”，一定可以得到第一類數(shù)列．

解答：（Ⅰ）解：數(shù)列A₃：4，2，8不能結(jié)束，各數(shù)列依次為2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．從而以下重復(fù)出現(xiàn)，不會(huì)出現(xiàn)所有項(xiàng)均為0的情形． …（2分）
數(shù)列A₄：1，4，2，9能結(jié)束，各數(shù)列依次為3，2，7，8；1，5，1，5；4，4，4，4；0，0，0，0．…（3分）
（Ⅱ）解：A₃經(jīng)過(guò)有限次“T變換”后能夠結(jié)束的充要條件是a₁=a₂=a₃．…（4分）
若a₁=a₂=a₃，則經(jīng)過(guò)一次“T變換”就得到數(shù)列0，0，0，從而結(jié)束． …（5分）
當(dāng)數(shù)列A₃經(jīng)過(guò)有限次“T變換”后能夠結(jié)束時(shí)，先證命題“若數(shù)列T（A₃）為常數(shù)列，則A₃為常數(shù)列”．
當(dāng)a₁≥a₂≥a₃時(shí)，數(shù)列T（A₃）：a₁-a₂，a₂-a₃，a₁-a₃．
由數(shù)列T（A₃）為常數(shù)列得a₁-a₂=a₂-a₃=a₁-a₃，解得a₁=a₂=a₃，從而數(shù)列A₃也為常數(shù)列．
其它情形同理，得證．
在數(shù)列A₃經(jīng)過(guò)有限次“T變換”后結(jié)束時(shí)，得到數(shù)列0，0，0（常數(shù)列），由以上命題，它變換之前的數(shù)列也為常數(shù)列，可知數(shù)列A₃也為常數(shù)列． …（8分）
所以，數(shù)列A₃經(jīng)過(guò)有限次“T變換”后能夠結(jié)束的充要條件是a₁=a₂=a₃．
（Ⅲ）證明：先證明引理：“數(shù)列T（A_n）的最大項(xiàng)一定不大于數(shù)列A_n的最大項(xiàng)，其中n≥3”．
證明：記數(shù)列A_n中最大項(xiàng)為max（A_n），則0≤a_i≤max（A_n）．
令B_n=T（A_n），b_i=a_p-a_q，其中a_p≥a_q．
因?yàn)閍_q≥0，所以b_i≤a_p≤max（A_n），
故max（B_n）≤max（A_n），證畢．       …（9分）
現(xiàn)將數(shù)列A₄分為兩類．
第一類是沒(méi)有為0的項(xiàng)，或者為0的項(xiàng)與最大項(xiàng)不相鄰（規(guī)定首項(xiàng)與末項(xiàng)相鄰），此時(shí)由引理可知，max（B₄）≤max（A₄）-1．
第二類是含有為0的項(xiàng)，且與最大項(xiàng)相鄰，此時(shí)max（B₄）=max（A₄）．
下面證明第二類數(shù)列A₄經(jīng)過(guò)有限次“T變換”，一定可以得到第一類數(shù)列．
不妨令數(shù)列A₄的第一項(xiàng)為0，第二項(xiàng)a最大（a＞0）．（其它情形同理）
①當(dāng)數(shù)列A₄中只有一項(xiàng)為0時(shí)，
若A₄：0，a，b，c（a＞b，a＞c，bc≠0），則T（A₄）：a，a-b，|b-c|，c，此數(shù)列各項(xiàng)均不為0
或含有0項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類數(shù)列；
若A₄：0，a，a，b（a＞b，b≠0），則T（A₄）：a，0，a-b，b；T（T（A₄））：a，a-b，|a-2b|，a-b
此數(shù)列各項(xiàng)均不為0或含有0項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類數(shù)列；
若A₄：0，a，b，a（a＞b，b≠0），則T（A₄）：a，a-b，a-b，b，此數(shù)列各項(xiàng)均不為0，為第一類數(shù)列；
若A₄：0，a，a，a，則T（A₄）：a，0，0，a；T（T（A₄））：a，0，a，0；T（T（T（A₄）））：a，a，a，a，
此數(shù)列各項(xiàng)均不為0，為第一類數(shù)列．
②當(dāng)數(shù)列A₄中有兩項(xiàng)為0時(shí)，若A₄：0，a，0，b（a≥b＞0），則T（A₄）：a，a，b，b，此數(shù)列各項(xiàng)均不為0，為第一類數(shù)列；
若A₄：0，a，b，0（a≥b＞0），則T（A）：a，a-b，b，0，T（T（A））：b，|a-2b|，b，a，此數(shù)列各項(xiàng)均不為0或含有0項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類數(shù)列．
③當(dāng)數(shù)列A₄中有三項(xiàng)為0時(shí)，只能是A₄：0，a，0，0，則T（A）：a，a，0，0，T（T（A））：0，a，0，a，T（T（T（A）））：a，a，a，a，此數(shù)列各項(xiàng)均不為0，為第一類數(shù)列．
總之，第二類數(shù)列A₄至多經(jīng)過(guò)3次“T變換”，就會(huì)得到第一類數(shù)列，即至多連續(xù)經(jīng)歷3次“T變換”，數(shù)列的最大項(xiàng)又開始減少．
又因?yàn)楦鲾?shù)列的最大項(xiàng)是非負(fù)整數(shù)，故經(jīng)過(guò)有限次“T變換”后，數(shù)列的最大項(xiàng)一定會(huì)為0，此時(shí)數(shù)列的各項(xiàng)均為0，從而結(jié)束．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．