Question

（2012•西城區一模）乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運動員間進行，比賽采用7局4勝制（即先勝4局者獲勝，比賽結束），假設兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同．
（Ⅰ）求甲以4比1獲勝的概率；
（Ⅱ）求乙獲勝且比賽局數多于5局的概率；
（Ⅲ）求比賽局數的分布列．

Answer 1

分析：（I）先由已知，甲、乙兩名運動員在每一局比賽中獲勝的概率，甲以4比1獲勝，根據獨立重復試驗公式公式，列出算式，得到結果．
（II）記“乙獲勝且比賽局數多于5局”為事件B．B包括乙以4：2獲勝和乙以4：3獲勝，根據獨立重復試驗公式列出算式，得到結果．
（III）比賽結束時比賽的局數為X，則X的可能取值為4，5，6，7，根據獨立重復試驗公式計算出各自的概率即可得到分布列．

解答：解：（Ⅰ）由已知，甲、乙兩名運動員在每一局比賽中獲勝的概率都是

1

2

． …（1分）
記“甲以4比1獲勝”為事件A，
則P(A)=

C

3 4

(

1

2

)3(

1

2

)4-3

1

2

=

1

8

．                               …（4分）
（Ⅱ）記“乙獲勝且比賽局數多于5局”為事件B．
因為，乙以4比2獲勝的概率為P1=

C

3 5

(

1

2

)3(

1

2

)5-3

1

2

=

5

32

，…（6分）
乙以4比3獲勝的概率為P2=

C

3 6

(

1

2

)3(

1

2

)6-3

1

2

=

5

32

，…（7分）
所以 P(B)=P1+P2=

5

16

．                                    …（8分）
（Ⅲ）設比賽的局數為X，則X的可能取值為4，5，6，7．
P(X=4)=2

C

4 4

(

1

2

)4=

1

8

，…（9分）
P(X=5)=2

C

3 4

(

1

2

)3(

1

2

)4-3

1

2

=

1

4

，…（10分）
P(X=6)=2

C

3 5

(

1

2

)3(

1

2

)5-2•

1

2

=

5

16

，…（11分）P(X=7)=2

C

3 6

(

1

2

)3(

1

2

)6-3•

1

2

=

5

16

．                           …（12分）
比賽局數的分布列為：

X	4	5	6	7
P	1 8	1 4	5 16	5 16

（13分）

點評：本小題主要考查古典概型及其概率計算，考查取有限個值的離散型隨機變量及其分布列和均值的概念，通過設置密切貼近現實生活的情境，考查概率思想的應用意識和創新意識．