Question

【題目】如圖，等邊三角形OAB的邊長為8 ，且三個頂點均在拋物線E：y2=2px（p＞0）上，O為坐標原點．

（1）證明：A、B兩點關于x軸對稱；
（2）求拋物線E的方程．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設A（x1，y1）、B（x2，y2），

∵|OA|=|OB|，∴x12+y12=x22+y22．

又∵y12=2px1，y22=2px2，

∴x22﹣x12+2p（x2﹣x1）=0，

即（x2﹣x1）（x1+x2+2p）=0．

又∵x1、x2與p同號，∴x1+x2+2p≠0．

∴x2﹣x1=0，即x1=x2．

由拋物線對稱性，知點A、B關于x軸對稱．

（2）解：由（1）知∠AOx=30°，則y2=2px，x=6p，

∴y= x，y=2 p．

∴A（6p，2 p），

∵等邊三角形OAB的邊長為8 ，

∴（6p）2+（2 p）=（8 ）2．

∴p=2，

∴拋物線E的方程為y2=4x

【解析】（1）A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）根據|OA|=|OB|可得x12+y12=x22+y22 ． 由于A，B都在拋物線上進而滿足y12=2px1 ， y22=2px2 ， 整理可得（x2﹣x1）（x1+x2+2p）=0．根據x1、x2與p同號可知x1+x2+2p≠0進而可得x1=x2 ． 根據拋物線對稱性，知點A、B關于x軸對稱．（2）由（1）可知∠AOx=30°，進而根據拋物線和直線方程求得點A的坐標，利用等邊三角形OAB的邊長為8 ，可得p，即可求拋物線E的方程．