Question

【題目】已知函數y= sin（ωx+ ）（ω＞0）．
（1）若ω= ，求函數的單調增區間和對稱中心；
（2）函數的圖象上有如圖所示的A，B，C三點，且滿足AB⊥BC． ①求ω的值；
②求函數在x∈[0，2）上的最大值，并求此時x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：ω= 時，函數y= sin（ x+ ），

令﹣ +2kπ≤ x+ ≤ +2kπ，k∈Z，

解得：﹣3+8k≤x≤1+8k，k∈Z，

∴函數y的單調增區間為[﹣3+8k，1+8k]，（k∈Z）

令 x+ =kπ，k∈Z，

解得x=﹣1+4k，k∈Z，

∴函數y的對稱中心為（﹣1+4k，0），（k∈Z）；

（2）解：①由圖知：點B是函數圖象的最高點，設B（xB， ），

設函數最小正周期為T，則A（xB﹣ ，0），C（xB+ ，0）；

∴ =（ ， ），

=（ ，﹣ ），

由 ⊥ ，得 = T2﹣3=0，

解得：T=4，

∴ω= = ；

②由x∈[0，2]得 x+ ∈[ ， ]，

∴sin（ x+ ）∈[﹣ ，1]，

∴函數y在[0，2]上的最大值為 ，

此時 x+ = +2kπ，k∈Z，

則x= 4k，k∈Z；

又x∈[0，2]，∴x=

【解析】（1）ω= 時求出函數y的單調增區間和對稱中心；（2）①由圖知B是函數圖象的最高點，設出點B的坐標和最小正周期，表示出點A、C的坐標，利用坐標表示向量 、 ，根據數量積求出T、ω的值；②由x的取值范圍求出函數y的最大值，計算對應的x值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用正弦函數的單調性和三角函數的最值的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數；函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，．