Question

【題目】已知點，過點且與軸垂直的直線為， 軸，交于點，直線垂直平分，交于點.

（1）求點的軌跡方程；

（2）記點的軌跡為曲線，直線與曲線交于不同兩點，且（為常數），直線與平行，且與曲線相切，切點為，試問的面積是否為定值.若為定值，求出的面積；若不是定值，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）的面積為定值.

【解析】試題分析：

（1）根據拋物線的定義可得點M的軌跡，根據待定系數法可得軌跡方程．（2）設直線的方程為，與拋物線方程聯立消元后可得中點．同樣設出切線方程，與拋物線方程聯立消元后可得切點的坐標為，故得 軸．于是，由此通過計算可證得的面積為定值．

試題解析：

（1）由題意得，

即動點到點的距離和到直線的距離相等，

所以點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，

根據拋物線定義可知點軌跡方程為．

（2）由題意知，直線的斜率存在，設其方程為，

由消去x整理得 ．

則 ．

設的中點為,

則點．

由條件設切線方程為，

由消去y整理得 ．

∵ 直線與拋物線相切，

∴，

∴ ，

∴切點的橫坐標為，

∴ 點．

∴ 軸．

∵，

∴，

∴．

∴，

∵為常數，

∴的面積為定值．