Question

【題目】已知右焦點(diǎn)為的橢圓關(guān)于直線對(duì)稱的圖形過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).

是橢圓的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的面積；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）證明詳見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）由橢圓關(guān)于直線的對(duì)稱圖形過(guò)原點(diǎn)，可得a、c的關(guān)系，再由a、b、c的關(guān)系，可得a、c的值，進(jìn)而求得橢圓方程，由可知兩線段關(guān)于x軸對(duì)稱，直線AM傾斜角為，求出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求得交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得三角形面積.

（Ⅱ）用設(shè)而不求的方式，分別假設(shè)兩條直線方程，并求出弦長(zhǎng)，且兩直線斜率互為負(fù)倒數(shù)，根據(jù)兩弦長(zhǎng)之間的斜率關(guān)系，得出斜率k的方程，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，通過(guò)求導(dǎo)分析，證明結(jié)論.

（Ⅰ）由題意得橢圓的焦點(diǎn)在軸上，∵橢圓關(guān)于直線對(duì)稱的圖形過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，∴，∵，∴，解得.∴橢圓的方程為.設(shè)，則由題意知.

由已知及橢圓的對(duì)稱性知，直線的傾斜角為，

又，因此直線的方程為.

將代入得，

解得或，所以.

因此的面積.

（2）將直線的方程代入得

.

由得，故.

由題設(shè)，直線的方程為，故同理可得.

由得，即.

設(shè)，則是的零點(diǎn)，，

所以在單調(diào)遞增，又，，

因此在有唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)在內(nèi)，所以.