Question

【題目】如圖4，在四棱錐中，底面，底面為直角梯形，，過作平面分別交線段于點.

（1）證明：；

（2）若直線與平面所成的線面角的正切值為，則當點在線段的何處時，直線與平面所成角為？

Answer 1

【答案】(1)見解析.

(2) 當在線段靠近的三分點位置時，直線與平面所成的線面角為45°．

【解析】分析：第一問利用梯形的條件，結合線面平行的判定以及性質定理，證得線線垂直；第二問建立相應的空間直角坐標系，設出對應點的坐標，將線面角轉化為有關向量所成的角，利用向量所成角的余弦公式求得結果.

詳解：（Ⅰ）證明：底面為直角梯形，

，

平面， 平面，

平面，

平面，平面 平面，

．

（Ⅱ）解： 平面，，

為直線與平面所成的線面角，

，，．

以點為原點，，，為軸建立空間直角坐標系，

(2，0，0)，(2，1，0)，(0，2，0)，(0，0，2)，

設，則，

∴．

設平面的法向量為，

則

令，則，，

當在線段靠近的三分點位置時，直線與平面所成的線面角為45°．