Question

【題目】設拋物線：的焦點為，準線為，，以為圓心的圓與相切于點，的縱坐標為，是圓與軸的不同于的一個交點.

（1）求拋物線與圓的方程；

（2）過且斜率為的直線與交于，兩點，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）：，：；（2）.

【解析】

（1）由拋物線的定義，結合，確定的坐標，根據是線段垂直平分線上的點，建立方程，即可求拋物線與圓的方程；

（2）求出過且斜率為的直線的方程，與拋物線方程聯立，求出，的坐標，進而求出和到直線的距離，即可求的面積．

（1）如圖：

由拋物線的定義知，圓經過焦點，，

點的縱坐標為，又，則，，

由題意，是線段的垂直平分線上的點，又，

故，解得，則，，圓的半徑，

故拋物線：，圓：；

（2）由（1）可知，直線：，由，解得或，

如圖：

設，，則，到直線的距離，

所以的面積.