Question

【題目】已知函數f（x）=2x+2ax+b ， 且 ， ．
（Ⅰ）求實數a，b的值并判斷函數f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判斷函數f（x）在[0，+∞）上的單調性，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函數f（x）=2x+2ax+b ， 且 ， ．∴2+2a+b= ，22+22a+b= ，
即a+b=﹣1，2a+b=﹣2，
解得：a=﹣1，b=0，
故f（x）=2x+2﹣x ，
∴f（﹣x）=f（x），
故函數f（x）為偶函數；
（Ⅱ）函數f（x）在[0，+∞）為增函數，理由如下：
∵f′（x）=ln22x+ln 2﹣x ，
當x∈[0，+∞）時，f′（x）≥0恒成立，
故函數f（x）在[0，+∞）上的單調性
【解析】（Ⅰ）由已知中 ， ，構造方程，可解得實數a，b的值，根據奇偶性的定義，可判斷函數f（x）的奇偶性；（Ⅱ）函數f（x）在[0，+∞）上的單調遞增，利用導數法，可證得結論．
【考點精析】關于本題考查的函數單調性的判斷方法和函數的奇偶性，需要了解單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱才能得出正確答案．