Question

【題目】已知定義域為R的函數f（x）= 是奇函數．
（1）求實數a的值；
（2）判斷并證明f（x）在（﹣∞，+∞）上的單調性；
（3）若f（k3x）+f（3x﹣9x+1）＞0對任意x≥0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）= 是奇函數，

∴f（﹣x）= = =﹣f（x）= ，

∴a=1

（2）解：判斷：f（x）在R上為減函數

證明：由（1）得f（x）= = =﹣1+ ，

任取x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）=﹣1+ +1﹣ =

∵x1＜x2，∴ ﹣ ＞0， +1＞0， +1＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在R上為減函數

（3）解：∵f（k3x）+f（3x﹣9x+1）＞0，

∴f（k3x）＞﹣f（3x﹣9x+1），

∵f（x）是奇函數，

∴f（k3x）＞f（9x﹣3x﹣1），

∵f（x）在R上為減函數，

∴k3x＜9x﹣3x﹣1

令t=3x，∵x≥0，∴t≥1，

∴kt＜t2﹣t﹣1在對任意t≥1恒成立，

∴k＜t﹣ ﹣1在對任意t≥1恒成立

令h（t）=t﹣ ﹣1，g（t）在[1，+∞）為增函數，

∴g（t）min=g（1）=﹣1，

∴k＜﹣1．

【解析】（1）根據奇函數的定義求實數a的值；（2）根據：函數定義域內的任意x1＜x2，則f（x1）>f（x2），則函數為單調減函數來解題；（3）根據函數的奇偶性及單調性，將函數值的不等式變為自變量的不等式，再利用換元法化簡不等式，最終求得k的取值范圍.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．