Question

【題目】如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1 ， ∠BAA1=60°

（1）證明：AB⊥A1C；
（2）若AB=CB=2，A1C= ，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，

取AB的中點O，連結OC，OA1，A1B．

因為CA=CB，所以OC⊥AB．

由于AB=AA1， ，故△AA1B為等邊三角形，

所以OA1⊥AB．

因為OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C．

又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C；

（2）解：由題設知△ABC與△AA1B都是邊長為2的等邊三角形，

所以 ．

又 ，則 ，故OA1⊥OC．

因為OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1為三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．

又△ABC的面積 ，故三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積 ．

【解析】（1）由題目給出的邊的關系，可想到去AB中點O，連結OC，OA1 ， 可通過證明AB⊥平面OA1C得要證的結論；（2）在三角形OCA1中，由勾股定理得到OA1⊥OC，再根據OA1⊥AB，得到OA1為三棱柱ABC﹣A1B1C1的高，利用已知給出的邊的長度，直接利用棱柱體積公式求體積．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質的相關知識點，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．