Question

【題目】在如圖所示的組合體中，三棱柱ABC﹣A1B1C1的側面ABB1A1是圓柱的軸截面，C是圓柱底面圓周上不與A、B重合的一個點．
（Ⅰ）若圓柱的軸截面是正方形，當點C是弧AB的中點時，求異面直線A1C與AB1的所成角的大小；
（Ⅱ）當點C是弧AB的中點時，求四棱錐A1﹣BCC1B1與圓柱的體積比．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）如圖，取BC的中點D，連接OD，AD，則OD∥A1C，
∴∠AOD（或其補角）為異面直線A1C與AB1的所成角，
設正方形的邊長為2，則△AOD中，OD= A1C= ，AO= ，AD= ，
∴cos∠AOD= =
∴∠AOD= ；
（Ⅱ）設圓柱的底面半徑為r，母線長度為h，
當點C是弧AB的中點時， ，
， ，
∴ ．
【解析】（Ⅰ）取BC的中點D，連接OD，AD，則OD∥A1C，∠AOD（或其補角）為異面直線A1C與AB1的所成角，利用余弦定理，可求異面直線A1C與AB1的所成角的大小；（II）設圓柱的底面半徑為r，母線長度為h，當點C是弧弧AB的中點時，求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的體積，求出三棱錐A1﹣ABC的體積為，從而求出四棱錐A1﹣BCC1B1的體積，再求出圓柱的體積，即可求出四棱錐A1﹣BCC1B1與圓柱的體積比．
【考點精析】本題主要考查了旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）和異面直線及其所成的角的相關知識點，需要掌握常見的旋轉體有：圓柱、圓錐、圓臺、球；異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發現兩條異面直線間的關系才能正確解答此題．