Question

已知|

a

|=1，|

b

|=2，

a

與

b

的夾角為60°．
（1）求

a

+

b

與

a

的夾角的余弦值；
（2）當|

a

+t

b

|取得最小值時，試判斷

a

+t

b

與

b

的位置關系，并說明理由．

Answer 1

（1）設

a

+

b

與

a

的夾角為θ，于是

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cos60°=1，|

a

+

b

|=

( a + b )2

=

a 2+2 a • b + b 2

=

7

，于是cosθ=

( a + b )• a

| a + b |•| a |

=

2

7

=

2 7

7

．
（2）令|

a

+t

b

|=

4t2+2t+1

=

4(t+ 1 4 )2+ 3 4

，
當且僅當t=-

1

4

時，取得最小值，此時(

a

+t

b

)•

b

=

a

•

b

+4t=0，
所以(

a

+t

b

)⊥

b

．