Question

【題目】設函數，若存在（其中）

（1）求實數的取值范圍，

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

（1）先利用導數的符號討論函數的單調性，根據題設條件可得函數的最大值為正，再分和兩種情況討論，前者無兩個不同的零點，后者可利用零點存在定理證明函數有兩個零點.

（2）根據（1）可把要證明的不等式轉化為證明，根據函數的單調性及可把前者轉為， 構建新函數可證明該不等式.

解：（1）令，則

時，時；當，，

在遞增，遞減，且，

由題設，有兩個不同的零點，故即.

若，則當時，，故在無零點；

而在遞增，故在上至多有一個零點，故不符合；

若，則，，

考慮，因為，故，

為上的增函數，故即，

因在遞增，遞減，且，結合零點存在定理可知有兩個不同的零點，故.

（2）由（1）知：，

要證：成立，只需證：，

在遞增，故只需證：

即證.

只需證：，即證：.

令，

在上單調遞減,.證畢