Question

（2012•太原模擬）設函數f(x)=a(x+

1

x

)+2lnx，g(x)=x2．
（1）若a=

1

2

時，直線l與函數f（x）和函數g（x）的圖象相切于同一點，求切線l的方程；
（2）若f（x）在[2，4]內為單調函數，求實數a的取值范圍．
說明：請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一題記分．

Answer 1

分析：（1）由f（x）求出其導函數，把切點的橫坐標代入導函數中即可表示出切線的斜率，兩次求出的斜率相等列出關于切點的橫坐標x的方程，求出切點的坐標，根據得出的切點坐標，同時由f（x）求出其導函數，把切點的橫坐標代入導函數中即可表示出切線的斜率，根據切點坐標和切線過原點寫出切線方程即可．
（2）通過解f′（x），求其單調區間，轉化為恒成立問題求a的取值范圍．

解答：解：（1）若a=

1

2

時，
∵f′(x)=

1

2

(1-

1

x2

)+

2

x

=

x2+4x-1

2x2

，g'（x）=2x
因為直線l與函數f（x）、g（x）的圖象相切于同一點，
從而有：

x2+4x-1

2x2

=2x（4分）
解得x=1，x=

1

4

，（x=-1不在定義域內，故舍去）
又f'（1）=2，f（1）=1，
f′(

1

4

)=

1

2

，f(

1

4

)=

1

16

，
g'（1）=2，g（1）=1；
g′(

1

4

)=

1

2

，g(

1

4

)=

1

16

．
①當x=1時，則l的方程為：y=2x-1
②當x=

1

4

時，又因為點(

1

4

，

1

16

)也在f（x）的圖象上，
所以l的方程為y=

1

2

x-

1

16

．
綜上所述直線l的方程為y=2x-1或y=

1

2

x-

1

16

．
（2）∵f′(x)=a(1-

1

x2

)+

2

x

=

ax2+2x-a

x2

，
要使f（x）在[2，4]為單調增函數，則f′（x）≥0在[2，4]恒成立，
即

ax2+2x-a

x2

≥0在[2，4]恒成立，即ax²+2x-a≥0在[2，4]恒成立，
又a（x²-1）≥-2x即a≥

2x

1-x2

=

2

1 x -x

（2≤x≤4）（8分）
設u(x)=

1

x

-x（2≤x≤4），
因為u′(x)=-

1

x2

-1＜0（x＞0），
所以u（x）在（0，+∞）上單調遞減．
∴當2≤x≤4時，

2

1 x -x

∈[-

4

3

，-

8

15

]
所以要使a≥

2x

1-x2

=

2

1 x -x

（2≤x≤4），
只須當a≥-

8

15

時即可，（10分）
同理要為f（x）單調減函數，則f′（x）≤0在[2，4]恒成立，
易得a≤-

4

3

，
綜上，f（x）在[2，4]為單調函數，
則a的取值范圍為a≤-

4

3

或a≥-

8

15

（12分）．

點評：對于已知函數單調性，求參數范圍問題的常見解法；設函數f（x）在（a，b）上可導，若f（x）在（a，b）上是增函數，則可得f′（x）≥0，從而建立了關于待求參數的不等式，同理，若f（x）在（a，b）上是減函數，，則可得f′（x）≤0．