Question

（2012•太原模擬）選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知PA與圓O相切于點A，經過點O的割線PBC交圓O于點B，C，∠APC的平分線分別交AB，AC于點D，E．
（Ⅰ）證明：∠ADE=∠AED；
（Ⅱ）若AC=AP，求

PC

PA

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據弦切角定理，得到∠BAP=∠C，結合PE平分∠APC，可得∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED；
（Ⅱ）根據AC=AP得到∠APC=∠C，結合（I）中的結論可得∠APC=∠C=∠BAP，再在△APC中根據直徑BC得到∠PAC=90°+∠BAP，利用三角形內角和定理可得∠C=∠APC=∠BAP=

1

3

×90°=30°．利用直角三角形中正切的定義，得到

CA

AB

=

3

，最后通過內角相等證明出△APC∽△BPA，從而

PC

PA

=

CA

AB

=

3

．

解答：解：（Ⅰ）∵PA是切線，AB是弦，
∴∠BAP=∠C．
又∵∠APD=∠CPE，
∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE．
∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AED．…（5分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知∠BAP=∠C，
∵∠APC=∠BPA，
∵AC=AP，
∴∠APC=∠C
∴∠APC=∠C=∠BAP．
由三角形內角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°．
∵BC是圓O的直徑，
∴∠BAC=90°．
∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°．
∴∠C=∠APC=∠BAP=

1

3

×90°=30°．
在Rt△ABC中，

1

tanC

=

CA

AB

，即

1

tan30°

=

CA

AB

，
∴

CA

AB

=

3

．
∵在△APC與△BPA中
∠BAP=∠C，∠APB=∠CPA，
∴△APC∽△BPA．
∴

PC

PA

=

CA

AB

．
∴

PC

PA

=

CA

AB

=

3

．   …（10分）

點評：本題綜合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函數的定義和相似三角形的性質等知識點，屬于中檔題．找到題中角的等量關系，計算出Rt△ABC是含有30度的直角三角形，是解決本題的關鍵所在．