Question

如圖，已知兩個正方形ABCD 和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點。

（I）若CD=2，平面ABCD ⊥平面DCEF，求直線MN的長；

（II）用反證法證明：直線ME 與 BN 是兩條異面直線。

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）證明見解析。

解析:

（Ⅰ）取CD的中點G連結MG，NG。因為ABCD，DCEF為正方形，且邊長為2，所以MG⊥CD，MG=2，。因為平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG。所以。

（Ⅱ）證明：假設直線ME與BN共面，則平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN，由已知，兩正方形不共面，故平面DCEF，又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF。而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線，所以AB∥EN。又AB∥CD∥EF，則EN∥EF，這與矛盾，故假設不成立。所以ME與BN不共面，它們是異面直線。