Question

【題目】如圖，四棱錐中，平面，底面是正方形,為中點.

（1）求證：平面；

（2）求點到平面的距離；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由已知條件推導出，，由此得到平面，從而能夠證明平面．

（2）過點作于點，平面平面，從而得到線段的長度就是點到平面的距離，由此能求出結果．

（3）以點為坐標原點，分別以直線，，為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（1）證明：平面，，

又正方形中，，平面，

又平面，，，是的中點，

，平面

（2）過點作于點，由（1）知平面平面，

又平面平面，平面，

線段的長度就是點到平面的距離，

，，

.

（3）以點為坐標原點，分別以直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意知：

，

設平面的法向量為，則，

，令，得到，

又，且平面，

平面的一個法向量為.設二面角的平面角為

則.二面角的余弦值為.