Question

【題目】已知函數.

（1）過點（e是自然對數的底數）作函數圖象的切線l，求直線l的方程；

（2）求函數在區間（）上的最大值；

（3）若，且對任意恒成立，求k的最大值.（參考數據：，）

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）最大值是4.

【解析】

（1）設出切點坐標為,求得導函數后,將橫坐標帶入可得切線的斜率.點在切線方程上,可由點斜式表示出切線方程.帶入切點后,可求得切點的橫坐標.帶入切線方程即可求解.

（2）求得導函數,并令.即可求得極值點,并根據導函數符號判斷出為極小值點.討論及兩種情況,即可根據單調性求得最大值.

（3）因為時,分類參數.構造函數,求得導函數,并令,再求得.通過的符號,判斷出的單調性.從而由零點存在定理可知在上有且僅有一個零點.設這個零點為,結合函數可判斷出當時,,當時,.從而可知在處取得最小值.即可由整數求得的最大值.

（1）設切點為,則,

因為,所以,

因為切線過點,所以切線方程為,①

代入切點得,,

解得,代入①得直線l的方程為,

即直線l的方程為.

（2）函數,則

由得,,

所以當時,,當時,,

所以是極小值,

因為（）恒成立,所以分如下兩種情況討論：

1°當時,函數在區間上是增函數,

則,

2°當時,函數在區間上是增函數,

則,

因為,

顯然,

所以,

綜上所述的最大值為.

（3）由可知,所以等價于,

令,則,

令,則,恒成立,

所以在上是增函數,

又因為,,

所以在上有且僅有一個零點,

記該零點為,

所以,也即,

所以當時,,當時,,

所以在處取得極小值,也是最小值,

即,

所以整數（）,

所以k的最大值是4.