Question

已知圓C的半徑為2，圓心C在x軸的正半軸上，直線3x-4y+4=0與圓C相切．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在過點P（0，-3）的直線l與圓C交于不同兩點A、B，且弦AB的垂直平分線m過點Q（3，-3），若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用直線與圓相切的性質即可求出；
（Ⅱ）利用點到直線的距離公式、直線與圓相交得到直線l滿足的條件，再利用線段的垂直平分線的性質及垂徑定理及推論即可得出．

解答：解：（I）設圓心為C（a，0）（a＞0），則圓C的方程為（x-a）²+y²=4
∵圓C與3x-4y+4=0相切，∴

|3a+4|

32+42

=2，即|3a+4|=10，
解得a=2或a=-

14

3

（舍去），
∴圓C的方程為（x-2）²+y²=4．
（II）假設符合條件的直線l存在，顯然直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=kx-3，
∵直線l與圓相交于不同兩點，則圓心C到直線l的距離d=

|2k-3|

k2+1

＜r=2，解得k＞

5

12

，
直線m的方程為y+3=-

1

k

(x-3)，即x+ky+3k-3=0．
由于直線m垂直平分弦AB，故圓心C（2，0）必在直線m上，解得k=

1

3

．
而

1

3

∉(

5

12

，+∞)，
故不存在直線l，使得過點Q（3，-3）的直線m垂直平分弦AB．

點評：熟練掌握直線與圓相切的性質、點到直線的距離公式、直線與圓相交滿足的條件、線段的垂直平分線的性質及垂徑定理及推論是解題的關鍵．