Question

已知圓C的半徑為2，圓心在x軸正半軸上，直線3x-4y+4=0與圓C相切
（1）求圓C的方程
（2）過點Q（0，-3）的直線l與圓C交于不同的兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且為x₁x₂+y₁y₂=3時求：△AOB的面積．

Answer 1

分析：（I）設圓心為C（a，0），（a＞0），可得圓C的方程的方程．再根據圓心到直線的距離等于半徑求得a的值，可得圓C的方程．
（II）依題意：設直線l的方程為：y=kx-3，代入圓的方程化簡，里哦也難怪根與系數的關系求得x1+x2=

4+6k

1+k2

，x1x2=

9

1+k2

，再由x₁x₂+y₁y₂=3，求得k的值，可得∴直線l的方程．求得圓心C到l的距離d、以及|AB|的值，再由S△AOB=

1

2

|AB|•h，計算求得結果．

解答：解：（I）設圓心為C（a，0），（a＞0），則圓C的方程為（x-a）²+y²=4．
因為圓C與3x-4y+4=0相切，所以

|3a+4|

32+42

=2，解得：a=2或a=-

14

3

（舍），
所以圓C的方程為：（x-2）²+y²=4．…（4分）
（II）依題意：設直線l的方程為：y=kx-3，由

y=kx-3 (x-2)2+y2=4

得（1+k²）x²-（4+6k）x+9=0，
∵l與圓C相交于不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴△=（4+6k²）-4（1+k²）×9＞0，且x1+x2=

4+6k

1+k2

，x1x2=

9

1+k2

，
∴y1y2=(kx1-3)(kx2-3)=k2•x1x2-3k(x1x2)+9=

9k2

1+k2

-

12k+18k2

1+k2

+9，
又∵x₁x₂+y₁y₂=3，∴

9k2

1+k2

+

9k2

1+k2

-

12k+18k2

1+k2

+9=3，
整理得：k²+4k-5=0解得k=1或k=-5（舍）．
∴直線l的方程為：y=x-3．…（8分）
圓心C到l的距離d=

|2-3|

2

=

2

2

，在△ABC中，∵|AB|=2•

22- 1 2

=14，
原點O到直線l的距離，即△AOB底邊AB邊上的高h=

3

2

=

3

2

2

，
∴S△AOB=

1

2

|AB|•h=

1

2

•

14

•

3 2

2

=

3

2

7

．…（12分）

點評：本題主要考查直線和圓相交的性質，求圓的標準方程，一元二次方程根與系數的關系，屬于中檔題．