Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，且，．

（1）證明：平面；

（2）在線段上，是否存在一點，使得二面角的大小為？如果存在，求的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見證明 (2)見解析

【解析】

（1）推導出AB⊥AC，AP⊥AC，AB⊥PC，從而AB⊥平面PAC，進而PA⊥AB，由此能證明PA⊥平面ABCD；

（2）以A為原點，AB為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出在線段PD上，存在一點M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小為60°，4﹣2．

（1）∵在底面中，，

且

∴，∴

又∵，，平面，平面

∴平面 又∵平面 ∴

∵， ∴

又∵，，平面，平面

∴平面

（2）方法一：在線段上取點，使 則

又由（1）得平面 ∴平面

又∵平面 ∴ 作于

又∵，平面，平面

∴平面 又∵平面 ∴

又∵ ∴是二面角的一個平面角

設 則，

這樣，二面角的大小為

即

即

∴滿足要求的點存在，且

方法二：取的中點，則、、三條直線兩兩垂直

∴可以分別以直線、、為、、軸建立空間直角坐標系

且由（1）知是平面的一個法向量

設 則，

∴，

設是平面的一個法向量

則 ∴

令，則，它背向二面角

又∵平面的法向量，它指向二面角

這樣，二面角的大小為

即

即

∴滿足要求的點存在，且