Question

【題目】已知方程恰有四個不同的實數根，當函數時，實數的取值范圍是

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

利用導數的性質判斷f（x）的單調性和極值，得出方程f（x）=t的根的分布情況，從而得出關于t的方程t2﹣kt+1=0的根的分布情況，利用二次函數函數的性質列不等式求出k的范圍．

f′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，

令f′（x）=0，解得x=0或x=﹣2，

∴當x＜﹣2或x＞0時，f′（x）＞0，當﹣2＜x＜0時，f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上單調遞增，在（﹣2，0）上單調遞減，在（0，+∞）上單調遞增，

∴當x=﹣2時，函數f（x）取得極大值f（﹣2）=，

當x=0時，f（x）取得極小值f（0）=0．

作出f（x）的大致函數圖象如圖所示：

令f（x）=t，則當t=0或t＞時，關于x的方程f（x）=t只有1解；

當t=時，關于x的方程f（x）=t有2解；

當0＜t＜時，關于x的方程f（x）=t有3解．

∵g（x）=f2（x）﹣kf（x）+1恰有四個零點，

∴關于t的方程t2﹣kt+1=0在（0，）上有1解，在（，+∞）∪{0}上有1解，

顯然t=0不是方程t2﹣kt+1=0的解，

∴關于t的方程t2﹣kt+1=0在（0，）和（，+∞）上各有1解，

∴，解得k＞．

故選：B．