Question

【題目】設橢圓的左焦點為，離心率為，為圓的圓心.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知過橢圓右焦點的直線交橢圓于兩點，過且與垂直的直線與圓交于兩點，求四邊形面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意求得a，b的值即可確定橢圓方程；

（Ⅱ）分類討論，設直線l代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，可得|AB|，根據點到直線的距離公式可求出|CD|，再由四邊形的面積公式，化簡整理，運用不等式的性質，即可得到所求范圍

試題解析：

（1）由題意知，則，

圓的標準方程為，從而橢圓的左焦點為，即，

所以，又，得．

所以橢圓的方程為：.

（2）可知橢圓右焦點．

（ⅰ）當l與x軸垂直時，此時不存在，直線l：，直線，

可得：，，四邊形面積為12.

（ⅱ）當l與x軸平行時，此時，直線，直線，

可得：，，四邊形面積為.

（iii）當l與x軸不垂直時，設l的方程為 ，并設，.

由得.

顯然，且， .

所以.

過且與l垂直的直線，則圓心到的距離為，

所以.

故四邊形面積：.

可得當l與x軸不垂直時，四邊形面積的取值范圍為(12,).

綜上，四邊形面積的取值范圍為．