Question

【題目】已知拋物線的焦點為，為拋物線上一點，為坐標原點.的外接圓與拋物線的準線相切，外接圓的周長為.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知不與軸垂直的動直線與拋物線有且只有一個公共點，且分別交拋物線的準線和直線于、兩點，試求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）1

【解析】

(1)由的外接圓與拋物線的準線相切可得，外接圓的半徑，從而可得p,進而可得拋物線方程;

(2)先設直線的方程為，由直線方程與拋物線方程聯立可得，由判別式等于0，可得，再由題意求出點A、點B坐標，即可直接求的值.

（1）∵的外接圓的圓心必在線段的中垂線上

且外接圓與準線相切，外接圓的周長為

∴外接圓的半徑 即

∴拋物線的方程為

（2）解法一：由題知直線的斜率存在且不為0 ∴可設：

由消去得

∵直線與拋物線只有一個公共點，

∴即

∵直線：與準線交于

∴即 同理

∴

解法二：由題知直線不與坐標軸垂直

∴可設：

由消去得

∵直線與拋物線只有一個公共點

∴即

∵直線：與準線交于

∴即

同理

∴

解法三：設切點為

則：

令得即

令得即

∴