Question

(本題滿分16分)已知二次函數f (x) = x² ??ax + a (x∈R)同時滿足：①不等式 f (x) ≤ 0的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在0 < x₁ < x₂，使得不等式f (x₁) > f (x₂)成立．設數列{a_n}的前 n 項和S_n = f (n)．（1）求函數f (x)的表達式；（2）求數列{a_n}的通項公式；（3）在各項均不為零的數列{c_n}中，若c_i·c_i+1 < 0，則稱c_i，c_i+1為這個數列{c_n}一對變號項．令c_n = 1 ?? （n為正整數），求數列{c_n}的變號項的對數．

Answer 1

(Ⅰ) a = 4， f (x) = x² ??4x + 4．   (Ⅱ)  a_n = （Ⅲ）共有3對變號項

解析:

（1）∵f (x) ≤ 0的解集有且只有一個元素，

        ∴  △ = a² ??4a = 0 ?? a = 0或a = 4，    1分

        當 a = 4 時，函數f (x) = x² ??4x + 4在(0，2)上遞減，

        故存在0 < x₁ < x₂，使得不等式f (x₁) > f (x₂)成立． 3分

當 a = 0 時，函數f (x) = x² 在(0，+∞)上遞增，   

        故不存在0 < x₁ < x₂，使得不等式f (x₁) > f (x₂)成立．

        綜上：a = 4， f (x) = x² ??4x + 4．     5分

      ⑵由⑴可知：S_n = n² ??4n + 4． 當 n = 1時，a₁ = S₁ = 1，   6分

        當n ≥ 2時，a_n = S_n ?? S_n??1= (n² ??4n + 4) ?? [(n ??1)² ??4(n ??1) + 4] = 2n ?? 5，

        ∴  a_n =     10分

      ⑶法一：由題設c_n = ， 12分

∵ 當n ≥ 2時，c_{n + 1} ?? c_n = ?? = ，

∴ 當n ≥ 3時，數列{c_n}遞增， ∵ c₃ = ??3 < 0，又由c_n = 1 ?? ≥ 0，得 n ≥ 5，

  可知 c₄·c₅ < 0，   即 n ≥ 3時，有且只有一對變號項，   14分

又 ∵ c₁ = ??3，c₂ = 5，c₃ = ??3，即 c₁·c₂ < 0，c₂·c₃ < 0，∴ 此處有2對變號項．

綜上可得：數列{c_n}的變號項有3對．   16分

法二：當i ≥ 2時，c_i = 1 ?? = ， ∵  c_i·c_i+1 < 0 ，

 ∴ · < 0，∴  < i < 或  < i < ，   ∵  i ≥ 2，i∈N*，∴ i = 2或4，即  c₂·c₃ < 0，c₄·c₅ < 0，此處有2對變號項， 14分又 ∵ c₁ = ??3，c₂ = 5，即 c₁·c₂ < 0，此處有一對變號項，綜上可得：數列{c_n}的共有3對變號項  16分