Question

【題目】已知函數f（x）=x|x﹣a|
（1）若函數y=f（x）+x在R上是增函數，求實數a的取值范圍；
（2）若對任意x∈[1，2]時，函數f（x）的圖像恒在y=1圖像的下方，求實數a的取值范圍；
（3）設a≥2時，求f（x）在區間[2，4]內的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：y=f（x）+x=x|a﹣x|+x=

由函數y=f（x）+x在R上是增函數，

則 即﹣1≤a≤1，

則a范圍為﹣1≤a≤1

（2）解：由題意得對任意的實數x∈[1，2]，f（x）＜1恒成立，

即x|x﹣a|＜1，當x∈[1，2]恒成立，即|a﹣x|＜ ，﹣ ＜x﹣a＜ ，

即為x﹣ ，

故只要x﹣ 且a 在x∈[1，2]上恒成立即可，

即有 即

（3）解：當a≥2時， ，f（x）=

（Ⅰ）當 即a＞8時，f（x）在[2，4]上遞增，f（x）min=f（2）=2a﹣4，f（x）max=f（4）=4a﹣16，∴值域為[2a﹣4，4a﹣16]

（Ⅱ）當2≤ ≤4，及4≤a≤8時，f（x）=f（ ）= ，f（2）﹣f（4）=12﹣2a

若4≤a＜6，值域為[4a﹣16， ]；若6≤a≤8，則值域為[2a﹣4， ]；

（Ⅲ）當1 ，即2≤a＜4時f（x）min=0，且f（2）﹣f（4）=6﹣20，

若2≤a＜ ，則值域為[0，16﹣4a]．，若 ，則值域為[0，2a﹣4]

【解析】（1）y=f（x）+x=x|a﹣x|+x= ，要使函數y=f（x）+x在R上是增函數，只需 即可，（2）由題意得對任意的實數x∈[1，2]，f（x）＜1恒成立即可，（3）當a≥2時， ，f（x）= ，根據二次函數的性質，分段求出值域即可．
【考點精析】關于本題考查的函數的最值及其幾何意義，需要了解利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值才能得出正確答案．