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如圖，已知△OFQ的面積為S，且

＝1.設|

|＝c(c≥2)，S＝

c.若以O為中心，F為一個焦點的橢圓經過點Q，當|

|取最小值時，求橢圓的方程．

＝1

以O為原點，

所在直線為x軸建立平面直角坐標系．設橢圓方程為

＝1(a＞b＞0)，Q(x，y)．

＝(c，0)，則

＝(x－c，y)．∵

|·y＝

c，∴y＝

.
又∵

＝c(x－c)＝1，∴x＝c＋

.則|

|＝

(c≥2)．
可以證明：當c≥2時，函數t＝c＋

為增函數，
∴當c＝2時，|

|_min＝

，此時Q

.將Q的坐標代入橢圓方程，得

解得

∴橢圓方程為

＝1.

練習冊系列答案

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓

(a>b>0)的上、下頂點分別為A、B，已知點B在直線l：

上，且橢圓的離心率e =

．

(1)求橢圓的標準方程；
(2)設P是橢圓上異于A、B的任意一點，PQ⊥y軸，Q為垂足，M為線段PQ中點，直線AM交直線l于點C，N為線段BC的中點，求證：OM⊥MN．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中點在原點，焦點在x軸上，離心率等于

，它的一個頂點恰好是拋物線

的焦點．

(1)求橢圓C的方程；
(2)己知點P(2，3)，Q(2，-3)在橢圓上，點A、B是橢圓上不同的兩個動點，且滿足

APQ=

BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，點

為橢圓

右焦點，圓

與橢圓

的一個公共點為

，且直線

與圓

相切與點

。

（1）求

的值及橢圓

的標準方程；
（2）設動點

滿足

，其中

是橢圓

上的點，

為原點，直線

與

的斜率之積為

，求證：

為定值。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E:

=1(a>b>0),以拋物線y²=8x的焦點為頂點,且離心率為

.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若F為橢圓E的左焦點,O為坐標原點,直線l:y=kx+m與橢圓E相交于A、B兩點,與直線x=-4相交于Q點,P是橢圓E上一點且滿足

,證明

為定值,并求出該值.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C：

＝1(a＞b＞0)的離心率為

，其左焦點到點P(2，1)的距離為

.不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

(1)求橢圓C的方程；
(2)求△ABP面積取最大值時直線l的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知F₁，F₂分別是橢圓E：

＝1(a>b>0)的左、右焦點，A，B分別是橢圓E的左、右頂點，且

＋5

＝0.

(1)求橢圓E的離心率； (2)已知點D(1，0)為線段OF₂的中點，M為橢圓E上的動點(異于點A、B)，連結MF₁并延長交橢圓E于點N，連結MD、ND并分別延長交橢圓E于點P、Q，連結PQ，設直線MN、PQ的斜率存在且分別為k₁、k₂，試問是否存在常數λ，使得k₁＋λk₂＝0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，F₁、F₂是橢圓