Question

如圖，橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點到點P(2，1)的距離為.不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．

(1)求橢圓C的方程；
(2)求△ABP面積取最大值時直線l的方程．

Answer 1

（1）＝1（2）3x＋2y＋2－2＝0.

(1)設橢圓左焦點為F(－c，0)，則由題意得得
所以橢圓方程為＝1.
(2)設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，線段AB的中點為M.當直線AB與x軸垂直時，直線AB的方程為x＝0，與不過原點的條件不符，舍去．故可設直線AB的方程為y＝kx＋m(m≠0)，由消去y，整理得(3＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－12＝0，①
則Δ＝64k²m²－4(3＋4k²)(4m²－12)＞0，，
所以線段AB的中點為M.
因為M在直線OP：y＝x上，所以＝，得m＝0(舍去)或k＝－.
此時方程①為3x²－3mx＋m²－3＝0，則Δ＝3(12－m²)＞0，，所以AB＝·|x₁－x₂|＝·，設點P到直線AB的距離為d，則d＝
.設△ABP的面積為S，則S＝AB·d＝.其中m∈(－2，0)∪(0，2)．令u(m)＝(12－m²)(m－4)²，m∈[－2，2]，u′(m)＝－4(m－4)(m²－2m－6)＝－4(m－4)·(m－1－)(m－1＋)．所以當且僅當m＝1－時，u(m)取到最大值．故當且僅當m＝1－時，S取到最大值．綜上，所求直線l的方程為3x＋2y＋2－2＝0