Question

如圖，點(diǎn)為橢圓右焦點(diǎn)，圓與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)為，且直線與圓相切與點(diǎn)。

（1）求的值及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足，其中是橢圓上的點(diǎn)，為原點(diǎn)，直線與的斜率之積為，求證：為定值。

Answer 1

（1），；（2）詳見解析

試題分析：（1）由圓的方程可知圓心為，半徑為。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041745129545.png" style="vertical-align:middle;" />在圓上所以它與圓心間的距離等于半徑，可求得的值。有的值后便可求的切線的方程，與軸交點(diǎn)即為橢圓的右焦點(diǎn)。從而可得橢圓的方程。（2）設(shè)，根據(jù)可得與間的關(guān)系。將代入橢圓方程再根據(jù)直線與的斜率之積為可得間的關(guān)系，即間的關(guān)系。
試題解析：解：（1）由題意可知，又  又      2分
在中，，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：             6分
（2）設(shè)
∵M(jìn)、N在橢圓上，∴
又直線OM與ON的斜率之積為，∴，
于是
  故為定值       13分