Question

【題目】設函數在上有定義，實數和滿足.若在區間上不存在最小值，則稱在區間上具有性質P.

（1）當，且在區間上具有性質P，求常數C的取值范圍；

（2）已知，且當時，，判別在區間上是否具有性質P；

（3）若對于滿足的任意實數和，在區間上具有性質P，且對于任意，當時，有：，證明：當時，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）具有性質；（3）證明見解析．

【解析】

（1）由對稱軸可得；

（2）求出在上的函數解析式，判斷出函數在上后一個區間上的函數值都比前一個區間上的函數值大，從而函數最小值（如果有）只能在第一個區間上取得，但在上函數無最小值，因此可得出結論；

（3）由絕對值的性質知，即夾在和之間，如果，則在上有最小值，不具有性質，與已知矛盾，從而只能是，然后只要說明對任意的，一定有，，則必有，而，因此結論顯然成立．

（1），對稱軸，當時，是最小值，當時，是最小值，只有當，即時，在是遞增，無最小值；

（2）時，，，同理時，，，

即，易知當時，是最大值，而對任意的，，，都有恒成立，

∴時，若有最小值，則只有在時取得，但當時，是減函數，無最小值，∴在上無最小值，具有性質；

（3）對于任意，當時，

有：,

∴，

若成立，則在上有最小值，不具有性質，不合題意，所以只有．

顯然有，

則對任意的，則一定存在，使得則，，

∴，即．