Question

【題目】如圖，在三棱錐中，平面平面，和均是等腰直角三角形，，，、分別為、的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）由中位線的性質得出，然后利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面；

（Ⅱ）由已知條件可知，然后利用面面垂直的性質定理可證明出平面，即可得出；

（Ⅲ）以為原點，、所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出直線與平面所成角的正弦值.

（Ⅰ）在中，、分別為、的中點，所以為中位線，所以.

又因為平面，平面，所以平面；

（Ⅱ）在等腰直角三角形中，，所以.

因為平面平面，平面平面， 平面，

所以平面.

又因為平面，所以；

（Ⅲ）在平面內過點作垂直于，由（Ⅱ）知，平面，

因為平面，所以.

如圖，以為原點建立空間直角坐標系.

則，，，，.

，，.

設平面的法向量為，則，即.

令則，，所以.

直線與平面所成角大小為，.

所以直線與平面所成角的正弦值為.