Question

【題目】在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數，就稱點（x，y）為整點，下列命題中正確的是（寫出所有正確命題的編號）
①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經過任何整點；
②如果k與b都是無理數，則直線y=kx+b不經過任何整點；
③如果直線l經過兩個不同的整點，則直線l必經過無窮多個整點；
④直線y=kx+b經過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數；
⑤存在恰經過一個整點的直線．

Answer 1

【答案】①③⑤
【解析】解：①令y=x+ ，既不與坐標軸平行又不經過任何整點，所以本命題正確；②若k= ，b= ，則直線y= x+ 經過（﹣1，0），所以本命題錯誤；
設y=kx為過原點的直線，若此直線l過不同的整點（x1 ， y1）和（x2 ， y2），
把兩點代入直線l方程得：y1=kx1 ， y2=kx2 ，
兩式相減得：y1﹣y2=k（x1﹣x2），
則（x1﹣x2 ， y1﹣y2）也在直線y=kx上且為整點，
通過這種方法得到直線l經過無窮多個整點，則③正確；
④當k，b都為有理數時，y=kx+b可能不經過整點，例如k= ，b= ，故④不正確；
⑤令直線y= x恰經過整點（0，0），所以本命題正確．
綜上，命題正確的序號有：①③⑤．
所以答案是：①③⑤．
【考點精析】掌握命題的真假判斷與應用是解答本題的根本，需要知道兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．