Question

【題目】函數f（x）對一切實數x，y均有f（x+y）﹣f（y）=（x+2y+2）x成立，且f（2）=12．
（1）求f（0）的值；
（2）在（1，4）上存在x0∈R，使得f（x0）﹣8=ax0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=2，y=0，則f（2+0）﹣f（0）=（2+0+2）×2=8．

∵f（2）=12，∴f（0）=4

（2）解：令y=0，易得：f（x）=x2+2x+4．

在（1，4）上存在x0∈R，使得f（x0）﹣8=ax0成立，

等價于方程x2+2x=4﹣8=ax在（1，4）內有解．

即a=x+2﹣ ，1＜x＜4．

設函數g（x）=x﹣ +2（x∈（1，4））．

設x1，x2是（1，4）上任意兩個實數，且x1＜x2，則

g（x1）﹣g（x2）=（x1﹣x2） ．

由1＜x1＜x2＜4，得x1﹣x2＜0，

于是g（x1）﹣g（x2）＜0，

即g（x1）＜g（x2），

所以函數g（x）=x﹣ +2在（1，4）上是增函數．

∴實數a的取值范圍是（﹣1，5）

【解析】（1）令x=2，y=0，則f（2+0）﹣f（0）=（2+0+2）×2=8．即可得出．（2）令y=0，易得：f（x）=x2+2x+4．在（1，4）上存在x0∈R，使得f（x0）﹣8=ax0成立等價于方程x2+2x=4﹣8=ax在（1，4）內有解．即a=x+2﹣ ，1＜x＜4．設函數g（x）=x﹣ +2（x∈（1，4））．證明其單調性即可得出．