Question

【題目】甲、乙兩隊參加聽歌猜歌名游戲，每隊3人．隨機播放一首歌曲，參賽者開始搶答，每人只有一次搶答機會（每人搶答機會均等），答對者為本隊贏得一分，答錯得零分．假設甲隊中每人答對的概率均為 ，乙隊中3人答對的概率分別為 ， ， ，且各人回答正確與否相互之間沒有影響．
（Ⅰ）若比賽前隨機從兩隊的6個選手中抽取兩名選手進行示范，求抽到的兩名選手在同一個隊的概率；
（Ⅱ）用ξ表示甲隊的總得分，求隨機變量ξ的分布列和數學期望；
（Ⅲ）求兩隊得分之和大于4的概率．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）6個選手中抽取兩名選手共有 =15種結果， 抽到的兩名選手在同一個隊包括同在甲隊或乙隊，共有： =6種結果，
用A表示事件：“從兩隊的6個選手中抽取兩名選手，求抽到的兩名選手在同一個隊”
P（A）= = ．
故從兩隊的6個選手中抽取兩名選手進行示范，抽到的兩名選手在同一個隊的概率為 ．
（Ⅱ）由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，且～B（3， ），
P（ξ=0）= ，
P（ξ=1）= = ，
P（ξ=2）= = ，
P（ξ=3）= （ ）3= ．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P

ξ的數學期望E（ξ）=0× +1× +2× +3× =2．
（Ⅲ）用B表示事件：兩隊得分之和大于4包括：兩隊得分之和為5，兩隊得分之和為6，
用A1表示事件：兩隊得分之和為5，包括甲隊3分乙隊2分和乙隊3分甲隊2分．
P（A1）= （ + + ）+ = ，
用A2表示事件：兩隊得分之和為6，甲隊3分乙隊3分，
則P（A2）= = ，
P（B）=P（A1）+P（A2）= =
【解析】（Ⅰ）6個選手中抽取兩名選手共有 種結果，抽到的兩名選手在同一個隊包括同在甲隊或乙隊，共有 種結果，由此能求出從兩隊的6個選手中抽取兩名選手進行示范，抽到的兩名選手在同一個隊的概率．（Ⅱ）由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，且～B（3， ），由此能求出隨機變量ξ的分布列和數學期望．（Ⅲ）用B表示事件：兩隊得分之和大于4包括：兩隊得分之和為5，兩隊得分之和為6，用A1表示事件：兩隊得分之和為5，包括甲隊3分乙隊2分和乙隊3分甲隊2分．用A2表示事件：兩隊得分之和為6，甲隊3分乙隊3分，由P（B）=P（A1）+P（A2），能求出兩隊得分之和大于4的概率．
【考點精析】關于本題考查的離散型隨機變量及其分布列，需要了解在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能得出正確答案．