Question

（2013•山東）已知函數f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）
（Ⅰ）設a≥0，求f（x）的單調區間
（Ⅱ） 設a＞0，且對于任意x＞0，f（x）≥f（1）．試比較lna與-2b的大小．

Answer 1

分析：（I）由函數的解析式知，可先求出函數f（x）=ax²+bx-lnx的導函數，再根據a≥0，分a=0，a＞0兩類討論函數的單調區間即可；
（II）由題意當a＞0時，

-b+ b2+8a

4a

是函數的唯一極小值點，再結合對于任意x＞0，f（x）≥f（1）．可得出

-b+ b2+8a

4a

=1化簡出a，b的關系，再要研究的結論比較lna與-2b的大小構造函數g（x）=2-4x+lnx，利用函數的最值建立不等式即可比較大小

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=ax²+bx-lnx（a，b∈R）
知f′（x）=2ax+b-

1

x

又a≥0，
故當a=0時，f′（x）=

bx-1

x

若b=0時，由x＞0得，f′（x）＜0恒成立，故函數的單調遞減區間是（0，+∞）；若b＞0，令f′（x）＜0可得x＜

1

b

，即函數在（0，

1

b

）上是減函數，在（

1

b

，+∞）上是增函數、
所以函數的單調遞減區間是（0，

1

b

），單調遞增區間是（

1

b

，+∞），
當a＞0時，令f′（x）=0，得2ax²+bx-1=0
由于△=b²+8a＞0，故有
x₂=

-b+ b2+8a

4a

，x₁=

-b- b2+8a

4a

顯然有x₁＜0，x₂＞0，
故在區間（0，

-b+ b2+8a

4a

）上，導數小于0，函數是減函數；在在區間（

-b+ b2+8a

4a

，+∞）上，導數大于0，函數是增函數
綜上，當a=0，b≤0時，函數的單調遞減區間是（0，+∞）；當a=0，b＞0時，函數的單調遞減區間是（0，

1

b

），單調遞增區間是（

1

b

，+∞）；當a＞0，函數的單調遞減區間是（0，

-b+ b2+8a

4a

），單調遞增區間是（

-b+ b2+8a

4a

，+∞）
（II）由題意，函數f（x）在x=1處取到最小值，
由（1）知，

-b+ b2+8a

4a

是函數的唯一極小值點故

-b+ b2+8a

4a

=1
整理得2a+b=1，即b=1-2a
令g（x）=2-4x+lnx，則g′（x）=

1-4x

x

令g′（x）=

1-4x

x

=0得x=

1

4

當0＜x＜

1

4

時，g′（x）＞0，函數單調遞增；
當

1

4

＜x＜+∞時，g′（x）＜0，函數單調遞減
因為g（x）≤g（

1

4

）=1-ln4＜0
故g（a）＜0，即2-4a+lna=2b+lna＜0，即lna＜-2b

點評：本題是函數與導數綜合運用題，解題的關鍵是熟練利用導數工具研究函數的單調性及根據所比較的兩個量的形式構造新函數利用最值建立不等式比較大小，本題考查了創新探究能力及轉化化歸的思想，本題綜合性較強，所使用的方法具有典型性，題后應做好總結以備所用的方法在此類題的求解過程中使用．